Question

三次函數f（x）= x³－3x²－3mx+4（其中m為常數）存在極值，請回答下列問題：

（1）求f（x）的單調區間及極值；

（2）當f（x）的極大值為5時，求m的值；

（3）求曲線y=f（x）過原點的切線方程.

Answer 1

解：（1）f（x）= x³－3x²－3mx+4.

由f′（x）=3 x²－6x－3m=0，

得3 x²－6x－3m=0，Δ=36（m+1）.

由于三次函數f（x）= x³－3 x²－3mx+4有極值的條件是f′（x）=0必須有相異兩實根，

∴當Δ≤0，即m≤－1時，函數無極值；

當Δ＞0，即m＞－1時，函數有極值.

設f′（x）=0的相異兩實根分別為α、β，其中α=1－，β=1+（m＞－1），則x變化時，y′、y的變化情況如下表：

∴當x=1－時，f（x）_極大值=f（α）

=（1－）³－3（1－）²－3m（1－）+4

=2（m+1）－3m+2.

當x=1+時，f（x）_極小值=f（β）

=（1+）³－3（1+）²－3m（1+）+4

=－2（m+1）－3m+2.

單調增區間為（－∞，1－）及（1+，+∞）；

單調減區間為（1－，1+）.

（2）令2（m+1）－3m+2=5，

解得m=，即m=時，y=f（x）取極大值5.

（3）設曲線過點（x₁，x₁³－3x₁²－3mx₁+4）的切線過原點，此時切線斜率為k=3x₁²－6x₁－3m，切線方程為y=3（x₁²－2x₁－m）（x－x₁）+x₁³－3x₁²－3mx₁+4.

由于該切線過原點，

∴－x₁（x₁²－2x₁－m）+x₁³－3x₁²－3mx₁+4=0，即2x₁³－3x₁²－4=0，

即（x₁－2）（2x₁²+x₁+2）=0.

∴x₁=2，代入切線方程得y=－3mx.

點評：本例是導數應用的典型例題.利用導數這一工具可以解決一些利用函數單調性定義求單調區間無法解決的題目.