Question

已知三次函數f（x）=4x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R）
（1）如果f（x）是奇函數，過點（2，10）作y=f（x）圖象的切線l，若這樣的切線有三條，求實數b的取值范圍；
（2）當-1≤x≤1時有-1≤f（x）≤1，求a，b，c的所有可能的取值．

Answer 1

分析：（1））由于f（x）是奇函數，可得f（-x）=-f（x）解得a=c=0；設切點為P（t，4t³+bt），利用導數得到切線的斜率，得到切線l的方程為y-（4t³+bt）=（12t²+b）（x-t），
把點（2，10）代人得到關于t的三次方程；要使切線l有三條，當且僅當g（t）=0有三個實數根，利用導數即可得出又三個實數根的充要條件，解出即可．
（2）由題意，當x=±1，±

1

2

時，均有-1≤f（x）≤1，利用上述條件即可得出a，b，c的值，再利用導數加以證明即可．

解答：解 （1）∵f（x）是奇函數，∴由f（-x）=-f（x）得a=c=0，
∴f（x）=4x³+bx，f^′（x）=12x²+b．
設切點為P（t，4t³+bt），則切線l的方程為y-（4t³+bt）=（12t²+b）（x-t），
由于切線l過點（2，10），∴10-（4t³+bt）=（12t²+b）（2-t），整理得b=4t³-12t²+5，
令g（t）=4t³-12t²+5-b，則g′（t）=12t²-24t=12t（t-2），
∴g（t）在（-∞，0）上是增函數，在（0，2）上是減函數，在（2，+∞）上是增函數，
要使切線l有三條，當且僅當g（t）=0有三個實數根，
g（t）=0有三個實數根，當且僅當g（0）＞0，且g（2）＜0，解得-11＜b＜5．
（2）由題意，當x=±1，±

1

2

時，均有-1≤f（x）≤1，故
-1≤4+a+b+c≤1，①
-1≤-4+a-b+c≤1，
即-1≤4-a+b-c≤1，②
-1≤

1

2

+

a

4

+

b

2

+c≤1，③
-1≤-

1

2

+

a

4

-

b

2

+c≤1，
即-1≤

1

2

-

a

4

+

b

2

-c≤1，④
①+②得-2≤8+2b≤2，從而b≤-3；
③+④得-2≤1+2b≤2，從而b≥-3，故b=-3．
代入①②③④得a+c=0，

a

4

+c=0，從而a=c=0．
下面證明：f（x）=4x³-3x滿足條件．
事實上，f′（x）=12x²-3=3（2x+1）（2x-1），所以f（x）在（-1，-

1

2

）上單調遞增，在（-

1

2

，

1

2

）上單調遞減，在（

1

2

，1）上單調遞增，
而f（-1）=-1，f（-

1

2

）=1，f（

1

2

）=-1，f（1）=1，所以當-1≤x≤1時 f（x）滿足-1≤f（x）≤1．

點評：本題綜合考查了利用導數研究函數的單調性、極值與最值、切線方程、三次方程由三個實數根的充要條件及函數的奇偶性等基礎知識與方法，要求有較強的推理能力和計算能力．