Question

三次函數f（x）=x³+ax²+bx+c的圖象如圖所示，直線BD∥AC，且直線BD與函數圖象切于點B，交于點D，直線AC與函數圖象切于點C，交于點A．
（1）若函數f（x）為奇函數且過點（1，-3），當x＜0時求

f(x)+8x

x2

的最大值；
（2）若函數在x=1處取得極值-2，試用c表示a和b，并求f（x）的單調遞減區間；
（3）設點A、B、C、D的橫坐標分別為x_A，x_B，x_C，x_D求證    （x_A-x_B）：（x_B-x_C）：（x_C-x_D）=1：2：1．

Answer 1

分析：（1）直接由函數f（x）為奇函數且過點（1，-3），得到a=c=0，b=-4，代入

f(x)+8x

x2

并整理，再結合基本不等式即可求出其最大值；
（2）先求出其導函數，根據函數在x=1處取得極值-2，得到

3+2a+b=0 a+b+c=-3

⇒

a=c b=-2c-3

；在代入其導函數，通過比較導數等于0的兩個根的大小求出函數的單調遞減區間；
（3）先設直線BD的方程為y=f′（x_B）（x-x_B）+f（x_B），結合D點在直線上又在曲線上，得到x_D+2x_B+a=0；同理得到x_A+2x_C+a=0；進而求出（x_A-x_B）+（x_C-x_D）=（x_B-x_C），最后結合直線BD∥AC得到xB+xC=-

2a

3

，結合上面所找的結論即可證得（x_A-x_B）：（x_B-x_C）：（x_C-x_D）=1：2：1．

解答：解：（1）由已知得a=c=0，b=-4，
當x＜0時

f(x)+8x

x2

=x+

4

x

≤-4當且僅當x=-2時取得最大值-4（3分）
（2）f′（x）=3x²+2ax+b，依題意有

3+2a+b=0 a+b+c=-3

⇒

a=c b=-2c-3

（5分）
從而f′（x）=3x²+2cx-（2c+3）=0=（3x+（2c+3））（x-1），
令f′（x）=0有x=1或x=-

2c+3

3

由于f（x）在x=1處取得極值，因此-

2c+3

3

≠1，得到c≠-3
①若-

2c+3

3

＞1，即c＜-3，
則當x∈(1，-

2c+3

3

)時，f′（x）＜0，因此f（x）的單調遞減區間為(1，-

2c+3

3

)；       （7分）
②若-

2c+3

3

＜1，即c＞-3，
則當x∈(-

2c+3

3

，1)時，f′（x）＜0，因此f（x）的單調遞減區間為(-

2c+3

3

，1)．（8分）
（3）證明：設直線BD的方程為y=f′（x_B）（x-x_B）+f（x_B）因為D點在直線上又在曲線上，
所以f（x_D）=f′（x_B）（x_D-x_B）+f（x_B）
即（x_D³+ax_D²+bx_D+c）-（x_B³+ax_B²+bx_B+c）=（3x_B²+2ax_B+b）（x_D-x_B）
得到：x_D²+x_Dx_B-2x_B²+ax_D-ax_B=0從而x_D+2x_B+a=0，①
同理有x_A+2x_C+a=0    ②，
由于AC平行于BD，因此f′（x_B）=f′（x_C），得到xB+xC=-

2a

3

進一步結合①②化簡可以得到xA+xD=xB+xC=-

2a

3

，從而x_A-x_B=x_C-x_D
又由①②得：（x_A-x_B）+（x_C-x_D）=（x_B-x_C），
因此（x_A-x_B）：（x_B-x_C）：（x_C-x_D）=1：2：1（14分）

點評：考查學生利用導數研究函數極值，研究函數單調性的能力，函數與方程的靈活運用能力．