Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，橢圓C的長軸長為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知直線l：y=kx+ 與橢圓C交于A，B兩點，是否存在實數(shù)k使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標原點O？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設橢圓的焦半距為c，則由題設，得： ，

解得 所以b2=a2﹣c2=4﹣3=1，

故所求橢圓C的方程為 +x2=1．

（2）解：存在實數(shù)k使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標原點O．

理由如下：

設點A（x1，y1），B（x2，y2），

將直線l 的方程y=kx+ 代入 +x2=1，

并整理，得（k2+4）x2+2 kx﹣1=0．（*）

則x1+x2=﹣ ，x1x2=﹣ ．

因為以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標原點O，

所以 =0，即x1x2+y1y2=0．

又y1y2=k2x1x2+ k（x1+x2）+3，

于是﹣ ﹣ +3=0，解得k=± ，

經(jīng)檢驗知：此時（*）式的△＞0，符合題意．

所以當k=± 時，以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標原點O．

【解析】（1）設橢圓的焦半距為c，則由題設，得： ，解得a，b，c值，可得橢圓C的方程；（2）設點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），將直線l 的方程y=kx+ 代入 +x2=1，利用韋達定理，及向量垂直的充要條件，可求出滿足條件的k值．