Question

【題目】已知數列的前項和為，把滿足條件（對任意的）的所有數列構成的集合記為.

（1）若數列的通項為，判斷是否屬于，并說明理由；

（2）若數列的通項為，判斷是否屬于，并說明理由；

（3）若數列是等差數列，且，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)不屬于，證明見解析；(2)屬于，證明見解析；(3)

【解析】

(1)根據等差數列的公式計算，再分析是否對任意的恒成立即可.

(2)根據等比數列的公式計算，再分析是否對任意的恒成立即可.

(3)整理可得，再根據等差數列的求和公式，結合當時的特別情況可得，再代入求解的范圍即可.

(1)易得為等差數列，且，.

故，易得隨的增大而增大，當時，故不恒成立，即不屬于.

(2) 易得為等比數列，公比為 .且，.

，因為，故，.

故恒成立，即屬于.

(3)設的公差為，因為，所以…①

特別的當時，，即.

由①有，

整理得，因為上述不等式對一切恒成立，所以必有 ，即.

又，故，所以，即，解得.