Question

【題目】已知橢圓的離心率為，圓經過橢圓的左，右焦點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）直線與橢圓交于點，線段的中點為，的垂直平分線與軸和軸分別交于兩點，是否存在實數，使得的面積與（為原點）的面積相等？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，理由見解析.

【解析】

（1）設，由題意得，，從而可求出，，即可得出結果；

（2）先假設存在實數，使得的面積與的面積相等，易知，把代入整理，設，，由根與系數關系，求得.，設點坐標為，根據題意，求得.

根據，列出方程，求得方程無解，即可得出結論.

（1）設，由題意得，

由圓經過橢圓的左，右焦點，得，

所以，，

所以橢圓的標準方程為.

（2）假設存在實數，使得的面積與的面積相等，易知，

把代入，

整理得，，

設，，則，

故點的橫坐標為，點的給坐標為，

即.

設點坐標為，因為，

所以，解得，即.

由，及的面積與面積相等，可得.

所以，

整理得.因為此方程無解，

所以不存在實數，使得的面積與的面積相等.