Question

【題目】設數列的各項均為不等的正整數，其前項和為，我們稱滿足條件“對任意的，均有”的數列為“好”數列．

（1）試分別判斷數列，是否為“好”數列，其中，，，并給出證明；

（2）已知數列為“好”數列．

① 若，求數列的通項公式；

② 若，且對任意給定正整數（），有成等比數列，求證：．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）由，運用等差數列的求和公式，通過檢驗即可判斷（2）對任意的，均有，令，則，即，消去，可得從而證明為等差數列，①進而求其通項公式② 若，則，由成等比數列，運用等比中項性質，結合等差數列的通項公式，化簡整理，求得的表達式，分析整理由不等式性質，即可得證.

（1）若，則，所以，

而，

所以對任意的均成立，

即數列是“好”數列；

若，取，

則，，

此時，

即數列不是“好”數列．

（2）因為數列為“好”數列，取，則，即恒成立．

當，有，

兩式相減，得（），

即（），

所以（），

所以，

即，即（），

當時，有，即，

所以對任意，恒成立，

所以數列是等差數列．

設數列的公差為，

① 若，則，即，

因為數列的各項均為不等的正整數，所以，

所以，，所以．

② 若，則，

由成等比數列，得，所以，

即

化簡得，，

即．

因為是任意給定正整數，要使，必須，

不妨設，由于是任意給定正整數，

所以．