Question

【題目】已知函數（），其中為自然對數的底數， .

（1）判斷函數的單調性，并說明理由；

（2）若，不等式恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）求出原函數的導函數，然后對a分類，當a≤0時，f′（x）＜0， 為R上的減函數；當a＞0時，由導函數為0求得導函數的零點，再由導函數的零點對定義域分段，根據導函數在各區間段內的符號得到原函數的單調性；

（2）x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，等價于恒成立，分離參數a，可得恒成立．令g（x）=，則問題等價于a不小于函數g（x）在[1，2]上的最大值，然后利用導數求得函數g（x）在[1，2]上的最大值得答案．

試題解析：

（1）由題可知， ，則

（ⅰ）當時， ，函數為上的減函數

（ⅱ）當時，令，得，

①若，則，此時函數為單調遞減函數；

②若，則，此時函數為單調遞增函數．

（2）由題意，問題等價于，不等式恒成立，

即， 恒成立，令，則問題等價于不小于函數在上的最大值．

由，顯然在上單調遞減．

令， ，則時，

所以在上也是單調遞減函數，所以函數在上單調遞減，

所以函數在的最大值為，

故， 恒成立時實數的取值范圍為