Question

【題目】命題p：實數x滿足x2﹣4ax+3a2＜0（其中a＞0），命題q：實數x滿足
（1）若a=1，且p∧q為真，求實數x的取值范圍；
（2）若￢p是￢q的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a=1，p∧q為真，∴p，q都為真．

p：x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜3．

命題q：實數x滿足 ，化為 ，解得2＜x≤3．

∴ ，解得2＜x＜3．

∴實數x的取值范圍是2＜x＜3

（2）解：命題p：實數x滿足x2﹣4ax+3a2＜0（其中a＞0），解得a＜x＜3a．

￢p：x≤a或x≥3a．

q：2＜x≤3，則￢q：x≤2或x＞3．

∵￢p是￢q的充分不必要條件，

∴ ，解得1＜a≤2．

∴實數a的取值范圍是（1，2]

【解析】（1）由a=1，p∧q為真，可得p，q都為真．分別化簡命題p，q即可得出．（2）命題p：實數x滿足x2﹣4ax+3a2＜0（其中a＞0），利用一元二次不等式的解法可得解得a＜x＜3a．￢p，q：2＜x≤3，則￢q：x≤2或x＞3．利用￢p是￢q的充分不必要條件，即可得出．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解復合命題的真假的相關知識，掌握“或”、 “且”、 “非”的真值判斷:“非p”形式復合命題的真假與F的真假相反；“p且q”形式復合命題當P與q同為真時為真，其他情況時為假；“p或q”形式復合命題當p與q同為假時為假，其他情況時為真．