Question

【題目】已知動圓M經過點F（1，0），且與直線l：x＝﹣1相切，動圓圓心M的軌跡記為曲線C

（1）求曲線C的軌跡方程

（2）若點P在y軸左側（不含y軸）一點，曲線C上存在不同的兩點A、B，滿足PA，PB的中點都在曲線C上，設AB中點為E，證明：PE垂直于y軸．

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x（2）證明見解析

【解析】

(1)利用圓的半徑相等列式化簡方程即可.

(2)設A（,y1）,B（,y2）,再求得中點,代入拋物線方程,再利用方程的根方法求解即可.

（1）設圓心M的坐標（x,y）,由題意得：|MF|等于到直線l的距離,∴|x+1|整理得：y2＝4x,

所以曲線C的軌跡方程為：y2＝4x；

（2）設P（x0,y0）,由（1）設A（,y1）,B（,y2）,

AB的中點E（xE,yE）,則yE,

因為PA的中點在拋物線上,

所以（）2＝4,即：y12﹣2y0y1+8x0﹣y02＝0；

同理可得PB的中點也在拋物線上可得：y22﹣2y0y2+8x0﹣y02＝0,

所以y1,y2是方程：y2﹣2y0y+8x0﹣y02＝0兩個不同的根,

∴y1+y2＝2y0,

所以yE＝y0,

∴P與E的縱坐標相同,

所以PE垂直于y軸．