【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
，
，且
，過點的直線與橢圓
交于
，
兩點，
的周長為8.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）試問：是否存在定點
，使得
為定值？若存在，求
；若不存在，請說明理由.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）存在定點
，使得
為定值
【解析】
（Ⅰ）由題意可知，
，則
，
，即
，
,進(jìn)而得到橢圓方程；（2）當(dāng)直線斜率存在時，聯(lián)立直線AB和橢圓方程，
，代入韋達(dá)定理即可求得P點坐標(biāo)；當(dāng)直線斜率不存在時，
，此時
可求出，和之前的相等.
（Ⅰ）由題意可知，
，則，
又
的周長為8，所以，即，，
故橢圓
的方程：；
（Ⅱ）假設(shè)存在定點
，使得為定值，
若直線
的斜率存在，設(shè)的方程為
，
設(shè)點
，
，
將設(shè)的方程代入橢圓方程
，
整理得
，
由韋達(dá)定理可得：
，
，
由于
，
，
則
，
因為為定值，
所以
，
解得
，此時
，
若直線的斜率不存在，
直線的方程為
，
，
，
則
，
當(dāng)，得，
綜上所述：存在定點，使得為定值.
名校課堂系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】李冶(1192-1279)，真定欒城（今屬河北石家莊市）人，金元時期的數(shù)學(xué)家、詩人、晚年在封龍山隱居講學(xué)，數(shù)學(xué)著作多部，其中《益古演段》主要研究平面圖形問題：求圓的直徑，正方形的邊長等，其中一問：現(xiàn)有正方形方田一塊，內(nèi)部有一個圓形水池，其中水池的邊緣與方田四邊之間的面積為
畝，若方田的四邊到水池的最近距離均為二十步，則圓池直徑和方田的邊長分別是（注： 
平方步為
畝，圓周率按
近似計算）
A.
步、
步B.
步、
步C.
步、
步D.
步、
步
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標(biāo)系
中，已知
分別為橢圓
的左、右焦點，且橢圓經(jīng)過點
和點
，其中
為橢圓的離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點
的直線
橢圓于另一點
，點
在直線上，且
．若
，求直線的斜率．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，中心在原點的橢圓C的上焦點為
，離心率等于
．
求橢圓C的方程；
設(shè)過且不垂直于坐標(biāo)軸的動直線l交橢圓C于A、B兩點，問：線段OF上是否存在一點D，使得以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形？作出判斷并證明．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知集合A＝{x|1<x<3}，集合B＝{x|2m<x<1－m}．
(1)當(dāng)m＝－1時，求A∪B；
(2)若AB，求實數(shù)m的取值范圍；
(3)若A∩B＝，求實數(shù)m的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)函數(shù)
，則下列結(jié)論錯誤的是( )
A. f(x)的一個周期為－2π
B. y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝
對稱
C. f(x＋π)的一個零點為x＝
D. f(x)在
單調(diào)遞減
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】若曲線C1：x2＋y2－2x＝0與曲線C2：y(y－mx+3m)＝0有四個不同的交點，則實數(shù)m的取值范圍是
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
（1）討論
的奇偶性，并說明理由；
（2）若
對任意實數(shù)
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍；
（3）若在
上有最大值9，求的值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知集合
，其中
， 
， 
． 
表示
中所有不同值的個數(shù)．
（
）設(shè)集合
， 
，分別求
和
．
（
）若集合
，求證： 
．
（
）
是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．
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