Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知分別為橢圓的左、右焦點，且橢圓經過點和點，其中為橢圓的離心率．

（1）求橢圓的方程；

（2）過點的直線橢圓于另一點，點在直線上，且．若，求直線的斜率．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由橢圓經過點A（2，0）和（1，3e），列出方程組，求出a＝2，b，c＝1，由此能求出橢圓的方程；

（2）設直線l的方程是y＝k（x﹣2），聯立方程組，求出點B坐標，點M的坐標為（1，﹣k），由MF1⊥BF2，即可求出直線l的斜率．

（1）因為橢圓經過點和點，

所以

解得， 所以橢圓的方程為．

（2）由（1）可得，

設直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k(x-2)

由方程組 消去y，

整理得，

解得x=2或，所以B點坐標為．

由OM=OA知，點M在OA的中垂線x=1上，

又M在直線l上，所以M點坐標為(1,-k)．

所以，．

若，則．

解得，所以，即直線l的斜率．