Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，中心在原點的橢圓C的上焦點為，離心率等于．

求橢圓C的方程；

設過且不垂直于坐標軸的動直線l交橢圓C于A、B兩點，問：線段OF上是否存在一點D，使得以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形？作出判斷并證明．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在滿足條件的點

【解析】

（1）根據題意可得，，即可求出橢圓方程；（2）設滿足條件的點，則，設的方程為：，（），代入橢圓方程，根據菱形的對角線互相垂直即，結合韋達定理和向量的運算即可求出．

解：（1）由題意可知橢圓的離心率，，

所以，，進而橢圓的方程為

（2）存在滿足條件的點.

設滿足條件的點，則（），

設的方程為：，（），代入橢圓方程，，

設，，則，∴.

∵以、為鄰邊的平行四邊形為菱形，∴

∵

∴，且的方向向量為

∴ 即

∵，∴，

∴，∴存在滿足條件的點.