【題目】如圖，已知三棱柱
中，平面
平面ABC，
，
.
（1）證明：
；
（2）設
，
，求二面角
的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】
（1）要證明
，只需證明
平面
即可；
（2）取
的中點為M，以C為原點，CA，CB，CM為正方向建立空間直角坐標系，求出平面
與平面
的法向量，利用向量的夾角公式計算即可.
（1）證明：連結
.
∵
，四邊形
為菱形，∴
.
∵平面
平面ABC，平面
平面
，
平面ABC，
，
∴
平面.
又∵
，∴
平面，∴
.
∵
，
∴平面，而
平面，
∴
.
（2）取的中點為M，連結CM.
∵，四邊形為菱形，
，
∴
，
.
又∵
，以C為原點，CA，CB，CM為正方向建立空間直角坐標系，如圖.
設
，
，，，
∴
，
，
，
，
.
由（1）知，平面的一個法向量為
.
設平面的法向量為
，
則
并且
，
∴
.
令
，得
，
，
即
.
∴
，
∴二面角
的正弦值為.
【點晴】
本題主要考查線線垂直的證明，坐標法求二面角的大小，考查學生空間想象能力，數學運算能力，是一道中檔題.
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浙江之星學業水平測試系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某工廠生產了一批零件，從中隨機抽取100個作為樣本，測出它們的長度（單位：厘米），按數據分成
，
，
，
，
5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．以這100個零件的長度在各組的頻率代替整批零件長度在該組的概率．
（1）估計該工廠生產的這批零件長度的平均值（同一組中的每個數據用該組區間的中點值代替）；
（2）若用分層抽樣的方式從第1組和第5組中抽取5個零件，再從這5個零件中隨機抽取2個，求抽取的零件中恰有1個是第1組的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】哈爾濱市第三中學校響應教育部門疫情期間“停課不停學”的號召，實施網絡授課，為檢驗學生上網課的效果，高三學年進行了一次網絡模擬考試.全學年共1500人，現從中抽取了100人的數學成績，繪制成頻率分布直方圖（如下圖所示）.已知這100人中
分數段的人數比
分數段的人數多6人.
（1）根據頻率分布直方圖，求a，b的值，并估計抽取的100名同學數學成績的中位數；
（2）現用分層抽樣的方法從分數在
，
的兩組同學中隨機抽取6名同學，從這6名同學中再任選2名同學作為“網絡課堂學習優秀代表”發言，求這2名同學的分數不在同一組內的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】
大學生是國家的未來，代表著國家可持續發展的實力，能夠促進國家綜合實力的提高.據統計，2016年至2020年我國高校畢業生人數y(單位：萬人)的數據如下表：
年份 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 |
年份代號x | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
高校畢業生人數y(單位：萬人) | 765 | 795 | 820 | 834 | 874 |
（1）根據上表數據，計算y與x的相關系數r，并說明y與x的線性相關性的強弱.
(已知：
，則認為y與x線性相關性很強；
，則認為y與x線性相關性一般；
，則認為y與x線性相關性較弱)
（2）求y關于x的線性回歸方程，并預測2022年我國高校畢業生的人數(結果取整數).
參考公式和數據：
，
，
，
，
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在極坐標系中，點P的坐標是
，曲線C的方程為
.以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，斜率為
的直線l經過點P.
（1）寫出直線l的參數方程和曲線C的直角坐標方程；
（2）若直線l和曲線C相交于兩點A，B，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】[選修4―4：坐標系與參數方程]
在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為
（θ為參數），直線l的參數方程為
.
（1）若a=1，求C與l的交點坐標；
（2）若C上的點到l的距離的最大值為
，求a.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知動圓
經過點
，且動圓被
軸截得的弦長為4，記圓心的軌跡為曲線
.
（1）求曲線的標準方程；
（2）過軸下方一點
向曲線作切線，切點記作
、
，直線
交曲線于點
，若直線
、的斜率乘積為
，點在以為直徑的圓上，求點
的坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了解某校學生參加社區服務的情況，采用按性別分層抽樣的方法進行調查.已知該校共有學生960人，其中男生560人，從全校學生中抽取了容量為n的樣本，得到一周參加社區服務時間的統計數據如下：
超過1小時 | 不超過1小時 | |
男 | 20 | 8 |
女 | 12 | m |
（1）求m，n；
（2）能否有95%的把握認為該校學生一周參加社區服務時間是否超過1小時與性別有關？
（3）從該校學生中隨機調查60名學生，一周參加社區服務時間超過1小時的人數記為X，以樣本中學生參加社區服務時間超過1小時的頻率作為該事件發生的概率，求X的分布列和數學期望.
附：
P（K2≥k） | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
K2
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數），將曲線上各點的橫坐標都縮短為原來的
倍，縱坐標坐標都伸長為原來的
倍，得到曲線
，在極坐標系（與直角坐標系取相同的單位長度，且以原點
為極點，以
軸非負半軸為極軸）中，直線
的極坐標方程為
．
（1）求直線和曲線的直角坐標方程；
（2）設點
是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的最大值．
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