Question

【題目】已知傾斜角為的直線經過拋物線：的焦點，與拋物線相交于、兩點，且.

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）過點的兩條直線、分別交拋物線于點、和、，線段和的中點分別為、.如果直線與的斜率之積等于1，求證：直線經過一定點.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)證明見解析.

【解析】分析：（Ⅰ）由題意可設直線的方程為，與拋物線方程聯立可得，由弦長公式可得，則,拋物線的方程為.

（Ⅱ）設直線的斜率為，則直線的斜率為.則直線的方程為，與拋物線方程聯立可得，據此可得，同理可得：，直線的方程為，即，直線經過定點.

詳解：（Ⅰ）由題意可設直線的方程為，令，.

聯立得，∴，

根據拋物線的定義得，又，又，∴，∴.

則此拋物線的方程為.

（Ⅱ）設直線的斜率為，則直線的斜率為.

于是直線的方程為，即，

聯立得，∴，

則，∴，

同理將換成得：，

∴ .

則直線的方程為，

即，顯然當，.

所以直線經過定點.