Question

【題目】已知在四邊形中，，，，.

（1）求的長及四邊形的面積；

（2）點為四邊形所在平面上一點，若，求四邊形面積的最大值及此時點的位置.

Answer 1

【答案】（1）；（2）四邊形面積的最大值為，此時且點與點分居于的兩側

【解析】

（1）設，在中，由余弦定理，求得，在中，求得，根據，故，即可求得，由四邊形，即可求得四邊形的面積；

（2）要使四邊形的面積最大，則點和點應在的兩側，且使得的面積最大，在中，根據余弦定理和均值不等式可得，結合三角形面積公式即可求得答案.

（1）設，在中，

由余弦定理，得，

同理在中，.

，

，

即，解得.

，，

又，，

，，

四邊形

（2）要使四邊形的面積最大，則點和點應在的兩側，且使得的面積最大.

在中，，

，

當且僅當時，等號成立，

即當時，.

又，

，

四邊形面積的最大值為，

此時為等邊三角形，即且點與點分居于的兩側.