Question

【題目】集合、為的一個等濃二分劃（即，，且.記集合中所有數的積為，集合中所有數的積為，稱為的等濃二分劃的特征數.證明：

（1）集合的等濃二分劃的特征數一定為合數；

（2）若等濃二分劃的特征數不為2的倍數，則該特征數為的倍數.

注：有限集合的元素個數簡記為.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）集合中的2014個數恰有1007個偶數，1007個奇數.

若全部偶數不全在、的同一個集合中，則、每個集合中均含偶數.

于是，與被2整除.

因此，被2整除.

若全部偶數均在、的一個集合中，不妨設集合的1007個元素全為偶數，則集合的1007個元素全為奇數.

顯然，集合中包含偶數6，集合中包含奇數3.

于是，與均為3的倍數.

因此，被3整除.

因為，所以，為合數.

（2）已知不為2的倍數.則為奇數當且僅當、一個為奇數一個為偶數.

不妨設為奇數.則集合的元素只能是這1007個奇數.

注意到，.

在集合中含有因數31的數記為.

因為中含兩個因數31，所以，集合中含因數31的共有34個.

從而，在集合中型的數中除去，含有因數13的數超過34個.

類似地，在集合中型的數中除去和，含有因數5的數遠遠超過34個.

于是，.

集合的元素只能是這1007個偶數.

注意到，.

在集合中含有因數31的數記為

.

因為中含兩個因數31，所以，集合中含因數31的共有33個.

從而，在集合中型或型的數含的因數5和13各自均多于33個.

于是，.

因此，，即.