Question

設兩向量

e1

，

e2

滿足|

e1

|=2，|

e2

|=1，

e1

、

e2

的夾角為60°，
（1）試求|3

e1

+

e2

|
（2）若向量2t

e1

+7

e2

與向量

e1

+t

e2

的夾角余弦值為非負值，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數量積公式，結合題意算出

e1

•

e2

=1．再由向量模的公式和數量積的運算性質加以計算，即可算出|3

e1

+

e2

|的值；
（2）根據題意，可得2t

e1

+7

e2

與

e1

+t

e2

的數量積大于或等于0，由此建立關于

e1

²、

e1

•

e2

、

e2

²和t的不等式，代入數據化簡得到關于t的一元二次不等式，解之即可得出實數t的取值范圍．

解答：解：（1）由題意，可得
∵|

e1

|=2，|

e2

|=1，

e1

、

e2

的夾角為60°，
∴

e1

•

e2

=|

e1

|•|

e2

|cos60°=1．
因此，|3

e1

+

e2

|=

(3 e1 + e2 )2

=

9| e1 |2+6 e1 • e2 +| e2 |2

=

9×22+6×1+12

=

43

；
（2）∵向量2t

e1

+7

e2

與向量

e1

+t

e2

的夾角余弦值為非負值，
∴（2t

e1

+7

e2

）•（

e1

+t

e2

）≥0，
即2t

e1

²+（7+2t²）

e1

•

e2

+7t

e2

²≥0，
∵|

e1

|=2，|

e2

|=1，

e1

•

e2

=1，
∴不等式可化為2t×4+（7+2t²）×1+7t×1≥0，
化簡得2t²+15t+7≥0，
解得t≤-7或t≥-

1

2

．
即滿足條件的實數t的取值范圍為：(-∞，-7]∪[-

1

2

，+∞)．

點評：本題給出向量

e1

、

e2

的模與夾角，求3

e1

+

e2

的模，并討論2t

e1

+7

e2

與

e1

+t

e2

的夾角問題．著重考查了平面向量的數量積及其運算性質、向量模的公式和一元二次不等式的解法等知識，屬于中檔題．