Question

設兩向量e₁、e₂滿足|

e

1|=2，|

e

2|=1，

e

1、

e

2的夾角為60°，若向量2t

e

1+7

e

2與向量

e

1+t

e

2的夾角為鈍角，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：欲求實數t的取值范圍，先根據條件，利用向量積的運算求出（2t

e

1+7

e

2）•（

e

1+t

e

2）的值，由于夾角為鈍角，所以計算得到的值是負值，最后解出這個不等式即可得到實數t的取值范圍．

解答：解：

e

1²=4，

e

2²=1，

e

1•

e

2=2×1×cos60°=1，
∴（2t

e

1+7

e

2）•（

e

1+t

e

2）=2t

e

1²+（2t²+7）

e

1•

e

2+7t

e

2²=2t²+15t+7．
∴2t²+15t+7＜0．
∴-7＜t＜-

1

2

．設2t

e

1+7

e

2=λ（

e

1+t

e

2）（λ＜0）?

2t=λ 7=tλ

?2t²=7?t=-

14

2

，
∴λ=-

14

．
∴當t=-

14

2

時，2t

e

1+7

e

2與

e

1+t

e

2的夾角為π．
∴t的取值范圍是（-7，-

14

2

）∪（-

14

2

，-

1

2

）．

點評：本題考查平面向量積的運算，同時考查一元二次不等式的解法．