【題目】在四棱錐
中，
，
，
.
（1）若點
為
的中點，求證：
平面
；
（2）當平面
平面
時，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）詳見解析（2）
【解析】
（1）通過作
的中點
，連結
，
，通過中位線定理分別證明
，
來證明平面
平面
，從而證明
平面
（2）當平面
平面
時，再結合題干信息，可作
的中點
，連接
，以
的方向為
軸正方向，
的方向為
軸正方向，
的方向為
軸正方向建立空間直角坐標系，用向量法來求解二面角
的余弦值
解：（1）取的中點，連結，.
∵
為等邊三角形，∴
.
∴
，又
，
∴四邊形
是平行四邊形，∴.
又∵
平面，
平面，
∴
平面.
∵
為
的中點，為的中點，∴.
同理：
平面.
∵
，∴平面平面.
∵
平面
，∴平面.
（2）取的中點，連結
，，則
，
.
∵平面平面，，
∴
平面，∴
，
，
.
以為坐標原點，的方向為軸正方向，
建立空間直角坐標系
.
則
，
，
.
∴
，
，
平面
的一個法向量為
.
設平面
的法向量為
，則
，即
.
令
，得
，
，∴平面的一個法向量
，
∴
.
設二面角的大小為
，結合圖形可知
.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】5張獎券中有2張是中獎的，先由甲抽1張，然后由乙抽1張，抽后不放回，求:
（1）甲中獎的概率
；
（2）甲、乙都中獎的概率
；
（3）只有乙中獎的概率
；
（4）乙中獎的概率
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】己知橢圓
上任意一點到其兩個焦點
，
的距離之和等于
，焦距為2c，圓
，
，
是橢圓的左、右頂點，AB是圓O的任意一條直徑，四邊形
面積的最大值為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，若直線
與圓O相切，且與橢圓相交于M，N兩點，直線
與
平行且與橢圓相切于P（O，P兩點位于的同側），求直線，距離d的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
到點
的距離比它到直線
距離小
（Ⅰ）求點的軌跡
的方程；
（Ⅱ）過點
作互相垂直的兩條直線
，它們與（Ⅰ）中軌跡分別交于點
及點
，且
分別是線段
的中點，求
面積的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某工廠生產一種儀器的元件，由于受生產能力和技術水平的限制，會產生一些次品，根據經驗知道，其次品率
與日產量
（萬件）之間滿足關系：
（
）已知每生產1萬件合格的儀器可以盈利2萬元，但每生產1萬件次品將虧損1萬元，故廠方希望定出合適的日產量.（注：次品率=次品數/生產量）
（1）試將生產這種儀器元件每天的盈利額
（萬元）表示為日產量（萬件）的函數；
（2）當日產量為多少時，可獲得最大利潤？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某城市在進行創建文明城市的活動中，為了解居民對“創文”的滿意程度，組織居民給活動打分（分數為整數．滿分為100分）．從中隨機抽取一個容量為120的樣本．發現所有數據均在
內．現將這些分數分成以下6組并畫出了樣本的頻率分布直方圖，但不小心污損了部分圖形，如圖所示．觀察圖形，回答下列問題：
（1）算出第三組
的頻數．并補全頻率分布直方圖；
（2）請根據頻率分布直方圖，估計樣本的眾數、中位數和平均數．（每組數據以區間的中點值為代表）
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