Question

【題目】已知點到點的距離比它到直線距離小

（Ⅰ）求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）過點作互相垂直的兩條直線，它們與（Ⅰ）中軌跡分別交于點及點，且分別是線段的中點，求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）36

【解析】

（Ⅰ）可知點到點的距離與到直線距離相等，根據拋物線定義可得方程；（Ⅱ）設直線，與拋物線方程聯立后利用韋達定理和中點坐標公式可求得點坐標，同理可求得點坐標；從而用表示出，根據兩條直線互相垂直得到，代入三角形面積公式，利用基本不等式可求得面積的最小值.

（Ⅰ）由題意知，點到點的距離與到直線距離相等

由拋物線的定義知，軌跡是以為焦點，以直線為準線的物線

的軌跡的方程為：

（Ⅱ）設直線

聯立得：

設，

則，

設直線.同理可得：

，，易知直線的斜率存在且均不為

，即：

當且僅當時取等號

面積的最小值為