Question

【題目】設函數f（x）=x3﹣3ax+b．
（1）若曲線y=f（x）在點（2，f（x））處與直線y=8相切，求a，b的值．
（2）在（1）的條件下求函數f（x）的單調區間與極值點．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=3x2﹣3a，

∵曲線y=f（x）在點（2，f（2））處與直線y=8相切，

∴ ，∴ ，∴

（2）解：∵f′（x）=3x2﹣12，

由f′（x）=0，解得：x=±2，

令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜﹣2，

令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜2，

故f（x）在（﹣∞，﹣2）遞增，在（﹣2，2）遞減，在（2，+∞）遞增；

∴此時x=﹣2是f（x）的極大值點，x=2是f（x）的極小值點

【解析】（1）根據導數的幾何意義，可得關于a，b的方程組，解出即可；（2）首先求f′（x）=0的自變量的值，然后判斷導數為0的點的兩側的導數是不是變號，根據導數的符號得到函數的單調區間以及極值點．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)，還要掌握函數的極值與導數(求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值)的相關知識才是答題的關鍵．