Question

【題目】已知函數y=f（x）對任意的x∈（﹣ ， ）滿足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函數f（x）的導函數），則下列不等式成立的是 ． ① f（﹣ ）＜f（﹣ ）
② f（ ）＜f（ ）
③f（0）＞2f（ ）
④f（0）＞ f（ ）

Answer 1

【答案】①
【解析】解：構造函數g（x）= ，

則g′（x）= （f′（x）cosx+f（x）sinx），

∵對任意的x∈（﹣ ， ）滿足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，

∴g′（x）＞0，即函數g（x）在x∈（﹣ ， ）單調遞增，

則g（﹣ ）＜g（﹣ ），即 ＜ ，

∴ ＜ ，即 f（﹣ ）＜f（﹣ ），故①正確，

g（ ）＞g（ ），即 ＞ ，

∴ ＞ ，即 f（ ）＞f（ ），故②錯誤，

g（0）＜g（ ），即 ＜ ，

∴f（0）＜2f（ ），故③錯誤，

g（0）＜g（ ），即 ＜ ，

∴f（0）＜ ，即f（0）＜ f（ ），故④錯誤，

所以答案是：①．

【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．