Question

【題目】.證明：

（1）當，；

（2）對任意，當時，.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】試題解析：

證明：（1）考慮函數，，

則的導數，

從而，

故在內遞減，在內遞增，

因此對任意，都有，

即（當且僅當時，等號成立）①，

所以當時，，即；

（2）由①可知當時，，

即當時，②；

當時，③.

令函數，，

注意到，故要證②與③，只需證明在內遞減，在內遞增.

事實上，當時，

；

當時，

.

綜上，對任意，當時，.

點睛:本題函數的解析式為背景，旨在考查與函數有關的不等式的證明的方法，以及運用所學導數知識去分析問題和解決問題的推理論證能力、分析問題解答問題的能力。解答第一問時，先構造函數，，然后運用導數這一研究函數單調性的工具，進行分析推證從而使得問題獲證；第二問的推證這是運用分析轉化的數學思想進行等價轉化，然后再構造函數，，運導數知識進行分析證明的，整個推證過程充分運用分析、綜合的常用的數學思想方法進行分析推證，體現轉化與化歸思想的靈活運用。不等式的證明問題是高考和各級各類考試的難點內容和題型，求解時應具體問題具體分析靈活采用不同的方法進行綜合運用，以達證明之目的。