Question

【題目】已知函數在x = 2處的切線與直線垂直．

（Ⅰ）求函數f (x)的單調區間；

（Ⅱ）若存在，使成立，求m的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數f (x)的單調遞減區間是(0，1]，單調遞增區間是[1，+∞)；（Ⅱ）m的最小值是5.

【解析】試題分析：1）求出函數的導數，根據f′（2）的值，求出a，從而求出函數的單調區間；
（2）問題等價于當x∈（1，+∞）時，成立，設，根據函數的單調性判斷即可．

試題解析：

（Ⅰ）

由已知，，解得：a = 1

∴

當時，，f (x)是減函數

當時，，f (x)是增函數

∴函數f (x)的單調遞減區間是(0，1]，單調遞增區間是[1，+∞)．

（Ⅱ）解：∵，∴等價于

即存在，使成立，∴

設，則

設，則

∴h (x)在上單調遞增.

又h (3) < 0，h (4) > 0，∴h (x)在上有唯一零點，設為x0，則，且

又，∴m的最小值是5．