Question

設向量

a

=(1，cos2θ)，

b

=(2，1)，

c

=(4sinθ，1)，

d

=(

1

2

sinθ，1)，其中θ∈（0，

π

4

）．
（1）求

a

•

b

-

c

•

d

的取值范圍；
（2）若函數f（x）=|x-1|，比較f（

a

•

b

）與f（

c

•

d

）的大小．

Answer 1

分析：（1）利用向量數量積的坐標運算將

a

•

b

-

c

•

d

表達為θ的三角函數，利用二倍角公式去平方，結合余弦函數的圖象求范圍即可．
（2）首先將f（

a

•

b

）與f（

c

•

d

）均表達為θ的函數，分別判斷范圍，再比較大小即可．

解答：解：（1）∵

a

•

b

=2+cos2θ，

c

•

d

=2sin²θ+1=2-cos2θ，
∴

a

•

b

-

c

•

d

=2cos2θ，
∵0＜θ＜

π

4

，∴0＜2θ＜

π

2

，∴0＜2cos2θ＜2，
∴

a

•

b

-

c

•

d

的取值范圍是（0，2）．
（2）∵f（

a

•

b

）=|2+cos2θ-1|=|1+cos2θ|=2cos²θ，
f（

c

•

d

）=|2-|cos2θ-1=|1-cos2θ|=2cos²θ，
∴f（

a

•

b

）-f（

c

•

d

）=2（2cos²θ-2cos²θ）=2cos2θ，
∵0＜θ＜

π

4

，∴0＜2θ＜

π

2

，∴2cos2θ＞0，
∴f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

）

點評：本題考查向量的運算、三角變換及三角函數的性質等知識，熟練的利用三角函數公式進行化簡變形時解決此類問題的關鍵．