Question

8．20名學生某次數學成績（單位：分）的頻率分布直方圖如圖：
（Ⅰ）求a的值，并估計這20名學生的平均成績；
（Ⅱ）從成績在[50，90）的學生中任選2人，求恰好有1人的成績在[50，70）中的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據頻率分布直方圖的小長方形的面積之和為1，即可求得a的值，根據平均數的求法，即可求得這20名學生的平均成績；
（Ⅱ）[50，70）的學生有2人，[70，90）的學生有3人，分別求得在[50，90）的學生中任選2人可能發生的情況及恰好有1人的成績在[50，70）的情況，根據古典概型概率公式，即可求得答案．

解答 解：（Ⅰ）（2a+3a+7a+6a+2a）×20=20a×20=1，得$a=\frac{1}{400}$，
$\overline x=2a×20×60+3a×20×80+7a×20×100+6a×20×120+2a×20×140$=41200a=103（分），
這20名學生的平均成績103（分）；                                …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，[50，70）的學生有2人，記為：A，B；…（7分）
[70，90）的學生有3人，記為：C，D，E；
在[50，90）的學生中任選2人，有：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}；{B，C}，{B，D}，{B，E}；{C，D}，{C，E}；{D，E}，共10種情況．…（10分）
恰好有1人的成績在[50，70），有：{A，C}，{A，D}，{A，E}；{B，C}，{B，D}，{B，E}，共6種情況．
記事件“恰好有1人的成績在[50，70）”為A，
則$P（A）=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$．                                  …（12分）

點評 本題考查了頻率分布直方圖的性質、列舉法計算基本事件及事件發生的概率，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．