Question

在直三棱柱中，，直線與平面成30°角.
（I）求證：平面平面；
（II）求直線與平面所成角的正弦值；
（III）求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

（1）見解析；（2）（3）.

本試題主要考查了空間想象能力的運用，解決空間中的線面角二面角以及面面垂直的判定定理的運用。

（1）證明：由直三棱柱性質，B₁B⊥平面ABC，
∴B₁B⊥AC，
又BA⊥AC，B₁B∩BA=B，
∴AC⊥平面 ABB₁A₁，
又AC平面B₁AC，
∴平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁.                                        
（2）解：過A₁做A₁M⊥B₁A₁，垂足為M，連結CM，
∵平面B₁AC⊥平面ABB₁A，且平面B₁AC∩平面ABB₁A₁=B₁A，
∴A₁M⊥平面B₁AC.
∴∠A₁CM為直線A₁C與平面B₁AC所成的角，
∵直線B₁C與平面ABC成30°角，
∴∠B₁CB=30°.
設AB=BB₁=a，可得B₁C=2a，BC=，

∴直線A₁C與平面B₁AC所成角的正弦值為
（3）解：過A做AN⊥BC，垂足為N，過N做NO⊥B₁C，垂足為O，連結AO，
由AN⊥BC，可得AN⊥平面BCC₁B₁，由三垂線定理，可知AO⊥B₁C，
∴∠AON為二面角B—B₁C—A的平面角，