Question

如圖，在三棱錐S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC.
（Ⅰ）證明：平面SBC⊥平面SAB；
（Ⅱ）求二面角A－SC－B的平面角的正弦值.
 

Answer 1

見解析.

本試題主要考查了立體幾何中三棱錐中關于面面垂直的判定和二面角的求解綜合試題，通過線面垂直來判定面面垂直，而二面角的求解可以建立空間直角坐標系，借助于平面的法向量來完成，也可以通過三垂線定理求作二面角，借助于平面的直角三角形求解得到。
解：（Ⅰ）平面SBC⊥平面SAB.理由如下：
因為∠SAB＝∠SAC＝90°，
所以SA⊥AB，SA⊥AC，
所以SA⊥底面ABC.                           ………………………………2分
又BC在平面ABC內，所以SA⊥BC.
又AB⊥BC，所以BC⊥平面SAB.                ………………………………4分
因為BC在平面SBC內，所以平面SBC⊥平面SAB. ………6分

（Ⅱ）作AD⊥SB，垂足為D.
由（Ⅰ）知平面SBC⊥平面SAB，
則有AD⊥平面SBC.                       …………8分
作AE⊥SC，垂足為E，連結DE，
則∠AED為二面角A－SC－B的平面角.   ………10分
設SA＝AB＝2，則SB＝BC ＝，AD＝，
AC＝，SC＝4，可求得AE＝.

所以二面角A－SC－B的平面角的正弦值為.……13分