Question

【題目】如圖，已知三棱錐中，平面平面，，，．

（1）證明：；

（2）求直線和平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取的中點，的中點，連、、，利用等腰三角形三線合一的性質得出，利用面面垂直的性質可得出平面，進而得出，再證明出，可得出平面，由此可得出；

（2）過點作垂足為點，推導出平面，計算出，可得出點到平面的距離為，由此可計算出直線和平面所成角的正弦值為，進而得解.

（1）取的中點，的中點，連、、.

，為的中點，，

又，為的中點，，，

又 ，為的中點，，

又 平面平面，交線為，平面，平面，

平面，，

又，平面，平面，；

（2）由（1）知平面，平面，平面平面，

過點作垂足為點，

平面平面，平面，平面，

所以，即是點到平面的距離，

平面，平面，，

，，，

，，

又是的中點，點到面的距離，

與面所成角的正弦值為.