Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）若，，求函數(shù)的極值；

（2）若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，試求出關(guān)于的關(guān)系式（即用表示），并確定的單調(diào)區(qū)間；（提示：應(yīng)注意對(duì)的取值范圍進(jìn)行討論）

（3）在（2）的條件下，設(shè)，函數(shù)，若存在使得成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）， ；（2），見解析； （3）.

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)的根，判斷根左右兩邊導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得到函數(shù)的單調(diào)性，據(jù)極大值極小值的定義求出極值；（2）據(jù)極值點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值為0得到a，b的關(guān)系；代入導(dǎo)函數(shù)中求出導(dǎo)函數(shù)的兩根，討論兩根的大小；判斷根左右兩邊導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，據(jù)導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求出單調(diào)區(qū)間；（3）據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出兩個(gè)函數(shù)的值域，求出函數(shù)值的最小距離，最小距離小于1求出a的范圍

（1）∵

當(dāng)，時(shí)，則

令得，∵∴，解得，

∵當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)

∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，．

（2）由（1）知

∵是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)

∴，即，解得，

則

令，得或

∵是極值點(diǎn)，∴，即

當(dāng)即時(shí)，由得或

由得

當(dāng)即時(shí)，由得或

由得

綜上可知：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為

（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

∴函數(shù)在區(qū)間上的最小值為

又∵，，

∴函數(shù)在區(qū)間上的值域是，即

又在區(qū)間上是增函數(shù)，

且它在區(qū)間上的值域是

∵，

∴存在使得

成立只須僅須．