Question

【題目】已知函數

（1）當時，試討論的單調性；

（2）對任意時，都有成立，試求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)分類討論,詳見解析;(2).

【解析】

(1)對求導后,分,和三種情況,討論的正負,進而得出單調性;

(2)不等式恒成立恒成立,因此利用研究出時的單調性,進而求出其最大值,即可得出結論.

(1),

則.

由,得或.

①當時,,

則時,,時,,

因此在和上單調遞減,在上單調遞增;

②當時,(當且僅當時,),

因此在上單調遞減;

③當時,,

則時,,時,,

因此函數在和上單調遞減,在上單調遞增.

綜上所述:當時,函數在和上單調遞減,在上單調遞增;

當時,函數在上單調遞減;

當時,函數在和上單調遞減,在上單調遞增.

(2)由(1)可知,

當時,,

則時,,時,,

因此在和上單調遞增,在上單調遞減.

故,,

因為時,,

因此.

又不等式恒成立恒成立,

而對任意,,

故k的取值范圍為.