Question

【題目】如圖，四棱錐S﹣ABCD中，SD＝CD＝SC＝2AB＝2BC，平面ABCD⊥底面SDC，AB∥CD，∠ABC＝90°，E是SD中點．

（1）證明：直線AE//平面SBC；

（2）點F為線段AS的中點，求二面角F﹣CD﹣S的大小．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）30°．

【解析】

（1）取SC中點G，連接BG，EG，推導出四邊形AEGB為平行四邊形，從而AE∥BG，進而AE∥平面SBC；

（2）取CD中點O，連接OS，OA ，推導出四邊形ABCD為矩形，AO⊥CO，AO⊥CD，以O為原點，OS所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，OA所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角F﹣CD﹣S的大小．

（1）證：如圖，取SC中點G，連接BG，EG，

∵EG為△SDC的中位線，∴EG∥CD，且EG，

∵AB∥CD，且AB，∴EG∥CD，且EG＝AB，

∴四邊形AEGB為平行四邊形，∴AE∥BG，

∵BG平面SBC，AE平面SBC，

∴AE∥平面SBC；

（2）解：設AB＝1，則BC＝1，CD＝2，取CD中點O，連接OS，OA ，

∴CO，

∵AB∥CD，∠ABC＝90°，

∴四邊形ABCO為矩形，∴AO⊥CO，AO⊥CD，

平面ABCD∩平面SDC＝CD，∴AO⊥平面SDC，AO⊥SO，

∵△SDC為正三角形，∴SO⊥CD，

以O為原點，OS所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，OA所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

A（0，0，1），S（，0，0），C（0，1，0），D（0，﹣1，0），F（，0，），

（，1，），（，﹣1，），

設平面FCD的一個法向量（a，b，c），

則，取x＝1，得（1，0，），

由題意取平面SDC的一個法向量（0，0，1），

設二面角F﹣CD﹣S的大小為θ，

則，

由圖可知，為銳角，∴θ＝30°，

∴二面角F﹣CD﹣S的大小為30°．