Question

【題目】已知是由正整數組成的無窮數列，該數列前項的最大值記為，第項之后各項， ， 的最小值記為， ．

（I）若為， ， ， ， ， ， ， ， ，是一個周期為的數列（即對任意， ），寫出， ， ， 的值．

（II）設是正整數，證明： 的充分必要條件為是公比為的等比數列．

（III）證明：若， ，則的項只能是或者，且有無窮多項為．

Answer 1

【答案】（I）， ；（II）見解析；（III）見解析.

【解析】試題分析：（I）根據已知給出的的定義，直接求出， ， ， 的值．

（II）分別證明充分性和必要性。充分性：由條件是公比為的等比數列且為正整數，推導結論；必要性：由結論推導條件。

（III）本問采用反證法，假設中存在大于的項，推導出矛盾。即可得到假設不成立，故中沒有大于2的項，又由于是由正整數組成的無窮數列，故中只可能是1和2.然后再進一步證明數列中存在無窮多個1.

試題解析：（I）由題知，在中，

，

， ，

∴， ，

（II）證明：

充分性：∵是公比為的等比數列且為正整數，

∴，

∴， ，

∴，（ ， ， ）．

必要性：∵，（ ， ， ），

∴，

又∵， ，

∴，

∴， ，

∴，

∴為公比為的等比數列．

（III）∵， ，

∴，

，

∴對任意， ，

假設中存在大于的項，

設為滿足的最小正整數，

則，對任意， ，

又∵，∴且，

∴，

， ，

故與矛盾，

∴對于任意，有，

即非負整數列各項只能為或．