Question

【題目】已知數列滿足： ， ， .　

（1）證明： ；

（2）證明： ；

（3）證明： .

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）先用數學歸納法證明，再設， ，求出的單調性，即可得證；（2）要證，只需證，令， ，求出的單調性，推出，再令， ，求出的單調性，推出，即可得證；（3）由（2）可得，由迭代可得，再根據，推出 ，然后由，推出，即可得證.

試題解析：（1）先用數學歸納法證明.　

①當時，∵，∴；

②假設當時， ，則當時， .

由①②可知.

再證.

，

令， ，則，

所以在上單調遞減，所以，

所以，即.

（2）要證，只需證，

只需證其中，

先證，

令， ，只需證.　

因為，

所以在上單調遞減，所以.

再證，

令， ，只需證，

，

令， ，則，

所以在上單調遞增，所以，

從而，所以在上單調遞增，所以，

綜上可得.

（3）由（2）知，一方面， ，由迭代可得，

因為，所以，所以

；

另一方面，即，

由迭代可得.

因為，所以 ，所以

；

綜上， .