Question

【題目】已知函數（為實常數）．

（Ⅰ）若為的極值點，求實數的取值范圍．

（Ⅱ）討論函數在上的單調性．

（Ⅲ）若存在，使得成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析（Ⅲ）．

【解析】試題分析：(1) ，由題， 為的極值點，

可得，即．

(2) ， ，分， ， 三種情況討論函數的單調性即可.

(3)結合(2)的單調性,分別求和 以及時a的范圍,綜合取并集可得.

試題解析：（Ⅰ） ，

∵為的極值點，

∴， ．

（Ⅱ）∵， ，

當，即時， ， ，

此時， 在上單調增，

當即時， 時，

， 時， ，

故在上單調遞減，在上單調遞增，

當即時， ， ，

此時， 在上單調遞減．

（Ⅲ）當時，∵在上單調遞增，

∴的最小值為，

∴，

當時， 在上單調遞減，在上單調遞增，

∴的最小值為，

∵，

∴， ，

∴，

∴．

當時， 在上單調遞減，

∴的最小值為，

∵， ，

∴，

綜上可得： ．