Question

為處理含有某種雜質的污水，要制造一個底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱（如圖），污水從A孔流入，經沉淀后從B孔流出，設箱體的長度為a米，高度為b米，已知流出的水中該雜質的質量分數與a、b的乘積ab成反比，現有制箱材料60平方米，問當a、b各為多少米時，經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小（A、B孔的面積忽略不計）？

Answer 1

當a=6,b=3時，經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小.

解法一:設經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數為y，則由條件y=(k＞0為比例系數)其中a、b滿足2a+4b+2ab="60      " ①
要求y的最小值，只須求ab的最大值.
由①(a+2)(b+1)=32(a＞0,b＞0)且ab=30–(a+2b)
應用重要不等式a+2b=(a+2)+(2b+2)–4≥
∴ab≤18，當且僅當a=2b時等號成立
將a=2b代入①得a=6,b=3.
故當且僅當a=6,b=3時，經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小.
解法二:由2a+4b+2ab=60,得,
記(0＜a＜30)則要求y的最小值只須求u的最大值.
由，令u′=0得a=6
且當0＜a＜6時，u′＞0，當6＜u＜30時u′＜0,
∴在a=6時取最大值，此時b=3.
從而當且僅當a=6，b=3時,y=取最小值.