Question

已知數列{a_n}滿足對任意的n∈N^*，都有a_n＞0，且a13+a23+…+an3=(a1+a2+…+an)  2．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（3）求數列{

1

anan+2

}的前n項和為S_n．

Answer 1

分析：（1）令n=1，2可以求a₁=1，a₂=2．
（2）由已知可得a13+a23+…+an+13=(a1+a2+…+ an+1)2，兩式相減，結合a_n＞0可求得an+12=2(a1+a2+…+an)+an+1，則可得an2=2(a1+a2+…+an-1)+an，n≥2，兩式相減整理可得a_n+1-a_n=1，從而可得數列{a_n}是等差數列，可求
（3）由（2）知

1

anan+2

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，利用裂項可求和

解答：（1）解：當n=1時，有a13=a12，由于a_n＞0，所以a₁=1．
當n=2時，有a13+a23=(a1+a2)2，將a₁=1．代入上式，由于a_n＞0，，所以a₂=2．
（2）解：由于a13+a23+…+an3=(a1+a2+…+an)  2，①
則有a13+a23+…+an+13=(a1+a2+…+ an+1)2．   ②
②-①，得an+13=(a1+a2+…+ an+1)2-(a1+a2+…+an)2
由于a_n＞0，所以an+12=2(a1+a2+…+an)+an+1  ③
同樣有an2=2(a1+a2+…+an-1)+ann≥2，④
③-④，得an+12-an2=an+1+an． 所以a_n+1-a_n=1．
由于a₂-a₁=1，即當n≥1時都有a_n+1-a_n=1．
所以數列{a_n}是首項為1，公差為1的等差數列．故a_n=n．
（3）解：由（2）知a_n=n，

1

anan+2

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)．
所以Sn=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+ 

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

）
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)．

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式求解數列的項，及構造等差數列求解通項公式，還考查了裂項求解數列的和，要注意

1

anan+2

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)中的系數

1

2

不要漏掉