Question

已知數列{a_n}滿足：a₁=

3

2

，且a_n=

3nan-1

2an-1+n-1

（n≥2，n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）證明：對于一切正整數n，不等式a₁•a₂•…a_n＜2•n！

Answer 1

分析：（1）將條件變為：1-

n

an

=

1

3

(1-

n-1

an-1

)，因此{1-

n

an

}為一個等比數列，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）a₁•a₂•a_n=

n！

(1- 1 3 )•(1- 1 32 )(1- 1 3n )

，為證a₁•a₂•a_n＜2•n！只要證n∈N*時有(1-

1

3

)•(1-

1

32

)(1-

1

3n

)＞

1

2

．再由數數歸納法進行證明．

解答：解：（1）將條件變為：1-

n

an

=

1

3

(1-

n-1

an-1

)，因此{1-

n

an

}為一個等比數列，其首項為
1-

1

a1

=

1

3

，公比

1

3

，從而1-

n

an

=

1

3n

，
據此得a_n=

n•3n

3n-1

（n≥1）1°
（2）證：據1°得，a₁•a₂•a_n=

n！

(1- 1 3 )•(1- 1 32 )(1- 1 3n )

為證a₁•a₂•a_n＜2•n！
只要證n∈N*時有(1-

1

3

)•(1-

1

32

)(1-

1

3n

)＞

1

2

2°
顯然，左端每個因式都是正數，先證明，對每個n∈N*，有(1-

1

3

)•(1-

1

32

)(1-

1

3n

)≥1-（

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

）3°
用數學歸納法證明3°式：
（1）n=1時，3°式顯然成立，
（2）設n=k時，3°式成立，
即(1-

1

3

)•(1-

1

32

)(1-

1

3k

)≥1-（

1

3

+

1

32

+…+

1

3k

）
則當n=k+1時，(1-

1

3

)•(1-

1

32

)•(1-

1

3k

)•(1-

1

3k+1

)≥〔1-（

1

3

+

1

32

+…+

1

3k

）〕•（1-

1

3k+1

）
=1-（

1

3

+

1

32

+…+

1

3k

）-

1

3k+1

+

1

3k+1

（

1

3

+

1

32

+…+

1

3k

）≥
1-（

1

3

+

1

32

+…+

1

3k

+

1

3k+1

）即當n=k+1時，3°式也成立．
故對一切n∈N*，3°式都成立．
利用3°得，(1-

1

3

)•(1-

1

32

)(1-

1

3n

)≥1-（

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

）=1-

1 3 〔1-( 1 3 )n〕

1- 1 3

=1-

1

2

〔1-(

1

3

)n〕=

1

2

+

1

2

(

1

3

)n＞

1

2

故2°式成立，從而結論成立．

點評：本題考查數列的性質和綜合應用，解題時要認真審題，注意挖掘題中的隱含條件．