Question

已知，f（x）=ax-lnx，g(x)=

-f(x)

x

，a∈R．
（1）當a=1時，討論f（x）的單調性、極值；
（2）當a=-1時，求證：g(x2)-f(x1)＜2x1+

1

2

，?x1，x2∈(0，+∞)成立；
（3）是否存在實數a，使x∈（0，e]時，f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）把a=1代入原函數，求出其導函數，即可求f（x）的單調性、極值；
（2）設h(x)=f(x)+2x+

1

2

，要使當a=-1時g(x2)-f(x1)＜2x1+

1

2

，?x1，x2∈(0，+∞)成立；
即要求g（x）在（0，+∞）的最大值小于h（x）的最小值，由（1）知h（x）的最小值為

3

2

，再根據g（x）在（0，e）上單調遞增，（e，+∞）單調遞減，知所以g（x）最大值為g(e)=1+

1

e

，根據1+

1

e

＜

3

2

，即可求解
（3）先求出其導函數，通過分類討論分別求出導數為0的根，以及單調性和極值，再與f（x）的最小值是3相結合，即可得出結論

解答：解：（1）a=1時，f(x)=x-lnx，f′(x)=

x-1

x

(x＞0)，x＞1時，f'（x）＞0，x＜0時，f'（x）＜0，
所以f（x）在（0，1）上單調遞減，（1，+∞）上單調遞增，f（x）有極小值f（1）=1
（2）a=-1時，g(x)=

x+lnx

x

=1+

lnx

x

，g′(x)=

1-lnx

x2

，
設h(x)=f(x)+2x+

1

2

，則h(x)=3x-lnx+

1

2

，
由（1）知h（x）的最小值為

7

2

．
又因為g（x）在（0，e）上單調遞增，（e，+∞）單調遞減，
所以g（x）最大值為g(e)=1+

1

e

＜

7

2

=h(x)min，
所以g（x₂）＜h（x₁）（x₁，x₂∈（0，+∞）
從而：g(x2)-f(x1)＜2x1+

1

2

，?x1，x2∈(0，+∞)成立
（3）f/(x)=

ax-1

x

①當a≤0時，f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上單調遞減f（e）＜0，與題意不符；
②當a＞0時，f′（x）=0的根為

1

a

當 0＜

1

a

＜e時，f(x)在x∈(0，

1

a

)上單調遞減，在(

1

a

，e)上單調遞增f(x)min=f(

1

a

)=1-ln

1

a

=3，解得a=e²
③當

1

a

≥e時，f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上單調遞減f（e）＜0，與題意不符；
綜上所述a=e^2時，使x∈（0，e]時，f（x）的最小值是3

點評：本題主要考查導數的應用．導數一般應用在求切線的斜率極其方程，求函數的單調區間以及極值，和求在某個區間上的最值問題上．導數的應用是高考考查的重點，須重視．