Question

已知函數f（x）=ax+

b

x

（其中a，b為常數）的圖象經過（1，2），（2，

5

2

）兩點．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）用定義法證明函數在[1，+∞）上是增函數．

Answer 1

分析：（1）f（x）的圖象經過兩點，把這兩點的坐標代入解析式，可求得a、b的值；
（2）用定義法證明函數的增減性時，基本步驟是：一取值，二作差，三判正負．四下結論．

解答：解：（1）∵f（x）=ax+

b

x

的圖象經過（1，2），（2，

5

2

）兩點；
∴有

a+b=2 2a+ b 2 = 5 2

，解得

a=1 b=1

；
∴f（x）的解析式為f（x）=x+

1

x

，（其中x≠0）；
（2）任取x₁，x₂，且1≤x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

1

x1

）-（x₂+

1

x2

）=（x₁-x₂）+（

1

x1

-

1

x2

）=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

；
∵1≤x₁＜x₂，∴x₁x₂＞1，x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＞0，x₁x₂＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在[1，+∞）上是增函數．

點評：本題考查了用待定系數法求函數的解析式以及用定義法證明函數的單調性問題，是基礎題．