Question

已知函數f（x）=a^x+x²-xlna，其中a＞1．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若方程f（x）-m=0在區間[-1，1]上有兩個不相等實數根，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求f′（x）的導數，由于a＞1，而a^x在R上單調遞增，分x＞0和x＜0討論f'（x）是否大于0可得f（x）的單調區間；
（II）由題意可得函數g（x）=f（x）-m在區間[-1，1]上有兩個不同的零點，用導數研究g（x）的單調性，并由根的存在性定理求得實數m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=a^x+x²-xlna，其中a＞1；
∴f'（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna．
當x＞0時，lna＞0，a^x-1＞0，∴f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
當x＜0時，lna＞0，a^x-1＜0，∴f'（x）＜0．
∴f（x）在（0，+∞）上單調遞減．
（Ⅱ）方程f（x）-m=0在區間[-1，1]上有兩個不相等實數根，即函數g（x）=f（x）-m在區間[-1，1]上有兩個不相等的零點；
當a＞1時，由（Ⅰ）知，f（x）在x=0處取得最小值f（0）=1，∴g（x）在x=0處取得最小值1-m；
又x＞0時，f（x）是增函數，∴g（x）是增函數；x＜0時，f（x）是減函數，∴g（x）是減函數；
∴g（x）在區間[-1，0]和[0，1]各有一個實根，即

g(0)＜0 g(-1)＞0

，且

g(0)＜0 g(1)＞0

；
∴

1-m＜0 a-1+1+lna-m＞0

，且

1-m＜0 a1+1-lna-m＞0

；
解得1＜m＜

1

a

+1+lna，且1＜m＜a+1-lna；
設h（a）=（a+1-lna）-（

1

a

+1+lna）=a-

1

a

-2lna（a＞1），
則h′（a）=1+

1

a2

-

2

a

=(

1

a

-1)2＞0，∴h′（a）在（1，+∞）上是增函數；
∴h（a）＞h（1）=0，即a+1-lna＞

1

a

+1+lna；
∴1＜m＜

1

a

+1+lna；
∴m的取值范圍是：{m|1＜m＜

1

a

+1+lna}．

點評：本題考查了利用導數判定函數的單調區間的方法，函數的零點與方程的根的關系，體現了轉化的數學思想，是較難的題．