Question

已知函數(shù)f（x）=a^x+ka^-x，其中a＞0且a≠1，k為常數(shù)，若f（x）在R上既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，則a+k的取值范圍是

（-1，0）

．

Answer 1

分析：由f（x）在R上是奇函數(shù)，可得f（0）=0，可求得k=-1，于是f（x）=a^x-a^-x，由f（x）=a^x-a^-x是減函數(shù)，由f′（x）＜0可求
a的取值范圍，從而可求得a+k的取值范圍．

解答：解：∵f（x）在R上是奇函數(shù)，
∴f（0）=0，即f（0）=1+k，
∴k=-1；
∴f（x）=a^x-a^-x，
又f（x）=a^x-a^-x是減函數(shù)，
∴f′（x）＜0，即a^xlna+a^-xlna=（a^x+a^-x）lna＜0，由于a^x+a^-x＞0，
∴l(xiāng)na＜0，
∴0＜a＜1．
∴a+k=a-1∈（-1，0）．
故答案為：（-1，0）．

點評：本題考查奇偶性與單調(diào)性的綜合，難點在用導(dǎo)數(shù)研究f（x）=a^x-a^-x是減函數(shù)，確定a的范圍，屬于中檔題．