Question

【題目】已知橢圓：過點，左、右焦點分別是，，過的直線與橢圓交于，兩點，且的周長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若點滿足，求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）4

【解析】

(1)本題首先可以根據橢圓定義以及的周長為得出，然后根據橢圓過點得出，最后聯立方程，即可得出結果；

(2)本題首先可根據題意求出的坐標為并設出直線的方程為，然后聯立直線方程與橢圓方程并計算出、，再然后根據得出四邊形的面積為，最后通過化簡并利用不等式即可得出四邊形的面積的最大值。

（1）因為的周長為，所以，

因為橢圓：過點，所以，

聯立方程，解得，，所以橢圓的方程為；

（2）由（1）可知，的坐標為，由題意可知，顯然直線的斜率不為0，

設直線的方程為，，，

聯立，得，

所以，，且恒成立，

因為點滿足，所以四邊形為平行四邊形，設其面積為，

則，

因為，所以，，

，

令，則，

當且僅當，即時，有最大值4，

所以四邊形面積的最大值為4。