Question

【題目】已知數列滿足：，，且(n=1,2,...)．記
集合．
（1）（Ⅰ）若，寫出集合M的所有元素；
（2）（Ⅱ）若集合M存在一個元素是3的倍數，證明：M的所有元素都是3的倍數；
（3）（Ⅲ）求集合M的元素個數的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

{6,12,24}

（2）

證明：（Ⅱ）因為集合M存在一個元素是3的倍數，所以不妨設 ak 是3的倍數，由已知 ，可用用數學歸納法證明對任意 n ≥ k ， an 是3的倍數，當 k = 1 時，則M中的所有元素都是3的倍數，如果 k > 1 時，因為 ak = 2ak-1 或 2ak-1 -36 ，所以 2ak-1 是3的倍數，于是 ak-1 是3的倍數，類似可得， ak -2 . . . . . . a1 都是3的倍數，從而對任意 n ≥ 1 ， an 是3的倍數，因此M的所有元素都是3的倍數.

（3）

8

【解析】（Ⅰ）由已知可知：，因此。
（Ⅱ）因為集合M存在一個元素是3的倍數，所以不妨設是3的倍數，由已知，可用用數學歸納法證明對任意，是3的倍數，當時，則M中的所有元素都是3的倍數，如果時，因為或，所以是3的倍數，于是是3的倍數，類似可得，都是3的倍數，從而對任意，是3的倍數，因此M的所有元素都是3的倍數.
（III ）由于M中的元素都不超過36，由,易得，類似可得,其次M中的元素個數最多除了前面兩個數外，都是4的倍數，因為第二哥數必定為偶數，由的定義可知，第三個數后面的數必定是4的倍數，另外，M中的數除以9的余數，由定義可知，和除以9的余數一樣，
（1）若中有3的倍數，由（2）知：所有都是3的倍數，所以都是3的倍數，所以除以9的余數為3，6，3，6，......，或6，3，6，3......，或0，0，0......，而除以9余3且是4的倍數只有12，除以9余6且是4的倍數只有24，除以9余0且是4的倍數只有36，則M中的數從第三項起最多2項，加上前面兩項，最多4項。
（2）若中沒有3的倍數，則都不是3的倍數，對于除以9的余數只能是1，4，7，2，5，8中的一個，從起，除以9的余數是1，2，4，8，7，5，1，2，4，8，......，不斷的6項循環（可能從2，4，8，7或5開始），而除以9的余數是1，2，4，8，5且是4的倍數（不大于36），只有28，20，4，8，16，32，所以M中的項加上前兩項最多的8項，則時，,項數為8，所以集合M的元素個數的最大值為8.
【考點精析】根據題目的已知條件，利用數學歸納法的步驟的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握

1. 步驟:A.命題在n=1（或）時成立，這是遞推的基礎；B.假設在n=k時命題成立； C.證明n=k+1時命題也成立,完成這兩步,就可以斷定對任何自然數(或n>=,且)結論都成立

．