Question

已知向量

m

=（

3

cosx，-2.5），

n

=（sinx，-0.5），函數f（x）=（

m

+

n

）•

n

．
（Ⅰ）求f（x）的解析式與最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中A為銳角，a=2

3

，c=4，且f（A）恰好在[0，

π

2

]上取得最大值，求角B的值以及△ABC的面積S．

Answer 1

考點：三角函數的周期性及其求法,平面向量數量積的運算,正弦定理

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）利用向量的數量積的坐標運算與三角恒變換的應用可求得f（x）=2sin（2x-

π

6

）+2，從而可求f（x）的解析式與最小正周期；
（Ⅱ）0≤x≤

π

2

⇒-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，利用正弦函數的單調性與最值，可求得當2x-

π

6

=

π

2

時，f（x）取得最大值，依題意，2A-

π

6

=

π

2

，解得A=

π

3

，利用正弦定理即可求得角B的值以及△ABC的面積S．

解答： （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）∵量

m

=（

3

cosx，-2.5），

n

=（sinx，-0.5），
∴

m

+

n

=（

3

cosx+sinx，-3），
∴f（x）=（

m

+

n

）•

n

=sin²x+

3

sinxcosx+

3

2

=

3

2

x-

1

2

cos2x+2=2sin（2x-

π

6

）+2…（3分）
于是f（x）=2sin（2x-

π

6

）+2，其最小正周期等于π…（6分）
（Ⅱ）∵0≤x≤

π

2

，∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，于是當2x-

π

6

=

π

2

時，f（x）取得最大值…（8分）
所以2A-

π

6

=

π

2

，∴A=

π

3

…（9分）
由正弦定理得sinC=

csinA

a

=1，∴C=

π

2

，于是B=

π

6

…（10分）
于是b=

1

2

c=2，∴S=

1

2

ab=

1

2

•2

3

•2=2

3

…（12分）

點評：本題考查向量的數量積的坐標運算與三角恒變換的應用，考查正弦函數的單調性與最值，突出考查正弦定理的應用，屬于中檔題．