Question

（2011•普寧市模擬）如圖，A是單位圓與x軸正半軸的交點，點B、P在單位圓上，且B(-

3

5

，

4

5

)，∠AOB=α，∠AOP=θ（0＜θ＜π），

OQ

=

OA

+

OP

，四邊形OAQP的面積為S．
（Ⅰ）求cosα+sinα；
（Ⅱ）求

OA

•

OQ

+S的最大值及此時θ的值θ₀．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函數的定義，直接求出cosα，sinα；即可得到cosα+sinα；
（Ⅱ）由題意求出求

OA

•

OQ

，S，利用兩角和的正弦函數化為一個角的一個三角函數的形式，通過0＜θ＜π
求出表達式的最大值及此時θ的值θ₀．

解答：解：（1）∵B(-

3

5

，

4

5

)，∠AOB=α，
cosα=-

3

5

，sinα=

4

5

所以cosα+sinα=

1

5

（2）由題意可知A（1，0），P（cosθ，sinθ），
∴

OQ

=（1+cosθ，sinθ），

OA

•

OQ

=1+cosθ，
因為

OQ

=

OA

+

OP

，四邊形OAQP是平行四邊形．
所以S=|OA||OP|sinθ=sinθ．
∴

OA

•

OQ

+S=1+cosθ+sinθ
=

2

sin(θ+

π

4

) +1   0＜θ＜π
則

OA

•

OQ

+S的最大值為：1+

2

此時θ₀=

π

4

．

點評：本題是基礎題，考查三角函數的定義，向量的數量積，三角函數的化簡求值，考查計算能力．