Question

（2011•普寧市模擬）已知數列{a_m}是首項為a，公差為b的等差數列，{b_n}是首項為b，公比為a的等比數列，且滿足a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃，其中a、b、m、n∈N*．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若數列{1+a_m}與數列{b_n}有公共項，將所有公共項按原順序排列后構成一個新數列{c_n}，求數列{c_n}的通項公式；
（Ⅲ）記（Ⅱ）中數列{c_n}的前項之和為S_n，求證：

9

S1S2

+

9

S2S3

+

9

S3S4

+…+

9

SnSn+1

＜

19

42

(n≥3)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設a_m=a+（m-1）b，知b_n=b•a^n-1．由a＜b＜a+b＜ab＜a+2b，知ab＜a+2b＜3b．由此能求出a．
（Ⅱ）設1+a+（m-1）b=b•a^n-1．由a=2，知3+（m-1）b=b•2^n-1，所以b=

3

2n-1-(m-1)

．由此能求出c_n．
（Ⅲ）由S_n=3（1+2+…+2^n-1）=3（2ⁿ-1）．知當n≥3時，2ⁿ-1=C_n⁰+C_n¹+…+C_n^n-1+C_nⁿ-1≥C_n⁰+C_n¹+C_n^n-1+C_nⁿ-1=2n+1，當且僅當n=3時等號成立，所以S_n≥3（2n+1）．由此能夠證明

9

S1S2

+

9

S2S3

+

9

S3S4

+…+

9

SnSn+1

＜

19

42

(n≥3)．

解答：解：（Ⅰ）由題設a_m=a+（m-1）b，b_n=b•a^n-1．   …（1分）
由已知a＜b＜a+b＜ab＜a+2b，所以ab＜a+2b＜3b．
又b＞0，所以a＜3．  …（2分）
因為ab＞a+b，b＞a，則ab＞2a．又a＞0，
所以b＞2，從而有a＞

b

b-1

＞1．    …（3分）
因為a∈N*，故a=2．           …（4分）
（Ⅱ）設1+a_m=b_n，即1+a+（m-1）b=b•a^n-1．    …（5分）
因為a=2，則3+（m-1）b=b•2^n-1，
所以b=

3

2n-1-(m-1)

．   …（6分）
因為b＞a=2，且b∈N*，所以2^n-1-（m-1）=1，
即m=2^n-1，且b=3． …（7分）
故c_n=b_n=3•2^n-1．         …（8分）
（Ⅲ）由題設，S_n=3（1+2+…+2^n-1）=3（2ⁿ-1）．   …（9分）
當n≥3時，2ⁿ-1=C_n⁰+C_n¹+…+C_n^n-1+C_nⁿ-1≥C_n⁰+C_n¹+C_n^n-1+C_nⁿ-1=2n+1，當且僅當n=3時等號成立，
所以S_n≥3（2n+1）．    …（11分）
于是

9

Snsn+1

=

1

(2n-1)(2n+1-1)

＜

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

[

1

2n+1

-

1

2n+3

](n≥3)．
（12分）
因為S₁=3，S₂=9，S₃=21，則

9

S1S2

+

9

S2S3

+

9

S3S4

+…+

9

SnSn+1

＜

1

3

+

1

21

+

1

2

[

1

7

-

1

9

+

1

9

-

1

11

+…

1

2n+1

-

1

2n+3

]
=

1

3

+

1

21

+

1

2

(

1

7

-

1

2n+3

)＜

1

3

+

1

21

+

1

14

=

19

42

．   …（14分）

點評：本題考查數列的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，合理地運用放縮法進行證明．注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．