【題目】在三棱柱
中，
，側面
底面
，D是棱
的中點.
（1）求證：平面
平面
；
（2）若
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）詳見解析；（2）
.
【解析】
（1）取
的中點
，連接
與
交于點
，連接
，根據題意可證四邊形
是平行四邊形，即
.根據側面
底面
，可得
平面
，根據面面垂直的判定定理，即可得證。
（2）分別以
分別為
軸正方向建系，求出各點坐標及平面
和平面的法向量，利用面面角的公式求解即可。
解：（1）取的中點，連接與交于點，連接.
則為的中點，
因為三棱柱
，
所以
，且
，
所以四邊形是平行四邊形.
又
是棱
的中點，所以.
因為側面
底面，且
，
所以平面
所以
平面
又
平面
，
所以平面
平面
（2）連接
，因為
，所以
是等邊三角形，故
底面。
設
，可得
，
分別以分別為軸正方向建立空間直角坐標系，
則
設平面的一個法向量為
則
所以
，取
所以
又平面的一個法向量為
故
因為二面角
為鈍角，所以其余弦值為.
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名校聯盟沖刺卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為
（α為參數），曲線C2的方程為（x-1）2+（y-1）2=2．
（1）在以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求曲線C1，C2的極坐標方程；
（2）直線θ=β（0＜β＜π）與C1的異于極點的交點為A，與C2的異于極點的交點為B，求|AB|的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】給出下列說法：
①方程
表示一個圓；
②若
，則方程
表示焦點在
軸上的橢圓；
③已知點
，若
，則動點
的軌跡是雙曲線的右支；
④以過拋物線焦點的弦為直徑的圓與該拋物線的準線相切，
其中正確說法的個數是（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校學生社團組織活動豐富，學生會為了解同學對社團活動的滿意程度，隨機選取了100位同學進行問卷調查，并將問卷中的這100人根據其滿意度評分值（百分制）按照[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]分成6組，制成如圖所示頻率分布直方圖．
（1）求圖中x的值；
（2）求這組數據的中位數；
（3）現從被調查的問卷滿意度評分值在[60，80）的學生中按分層抽樣的方法抽取5人進行座談了解，再從這5人中隨機抽取2人作主題發言，求抽取的2人恰在同一組的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】每年六、七月份，我國長江中下游地區進入持續25天左右的梅雨季節，如圖是江南某地區
年10年間梅雨季節的降雨量
單位：
的頻率分布直方圖，試用樣本頻率估計總體概率，解答下列問題：
假設每年的梅雨季節天氣相互獨立，求該地區未來三年里至少有兩年梅雨季節的降雨量超過350mm的概率．
老李在該地區承包了20畝土地種植楊梅，他過去種植的甲品種楊梅，平均每年的總利潤為28萬元
而乙品種楊梅的畝產量
畝
與降雨量之間的關系如下面統計表所示，又知乙品種楊梅的單位利潤為
元
，請你幫助老李分析，他來年應該種植哪個品種的楊梅可以使總利潤萬元的期望更大？并說明理由．
降雨量 |
|
|
|
|
畝產量 | 500 | 700 | 600 | 400 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，點
，
為直線
：
上的動點，過作的垂線，該垂線與線段
的垂直平分線交于點
，記的軌跡為
.
(1)求的方程；
(2)若過
的直線與曲線交于
，
兩點，直線
，
與直線
分別交于
，
兩點，試判斷以
為直徑的圓是否經過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，在長方體
中，點E是棱
上的一個動點，若平面
交棱
于點F，給出下列命題：
①四棱錐
的體積恒為定值；
②對于棱上任意一點E，在棱
上均有相應的點G，使得
平面
；
③O為底面
對角線
和
的交點，在棱
上存在點H，使
平面；
④存在唯一的點E，使得截面四邊形
的周長取得最小值.
其中為真命題的是____________________.（填寫所有正確答案的序號）
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