Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)的圖像與軸相切，求證：對(duì)于任意互不相等的正實(shí)數(shù)，，都有.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)證明

【解析】

（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分別討論和，即可得出結(jié)果；

（2）結(jié)合（1）的結(jié)果，得到時(shí)，在上單調(diào)遞增，不滿(mǎn)足條件；當(dāng)時(shí)，得到的極大值，再由函數(shù)的圖像與軸相切，求出，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)為證明即可，再構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)的方法判斷其單調(diào)性，結(jié)合條件，即可得出結(jié)論成立.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span> ，.

當(dāng)時(shí)， ，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，由，得 .

若 ，，單調(diào)遞增；

若 ，，單調(diào)遞減

綜合上述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，不滿(mǎn)足條件；

當(dāng)時(shí)，的極大值為，

由已知得 ，故 ，此時(shí).

不妨設(shè)，則

等價(jià)于 ，即證：

令 ， 則

故在單調(diào)遞減，所以.

所以對(duì)于任意互不相等的正實(shí)數(shù)，都有 成立.